Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Тождественные преобразования и функции на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42938

При каких значениях $x$ число $√31-+x-+ 3√3−-x$ является целым?

Источники: ПВГ 2010

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

3√---- √3---- f(x)= 1 +x+ 3− x

Пусть $a= 3√1+-x,b= 3√3−-x.$ Сразу отметим, что

3 3 a + b = 1+ x+3 − x =4.

В силу тождества

a3 +b3 = (a +b)(a2− ab+b2)

и того, что

a2− ab+ b2 = (a− b∕2)2+ 3b2->0, 4

получаем, что $a+b >0,$ то есть $f(x)> 0$ .

Из знаков производной

( ) f′(x)= 1 ⋅ ∘--1----− ∘--1---- = 3 3 (1 +x)2 3 (3 − x)2

3∘ -----2 3∘-----2 = -3∘(3−-x)-−2 3∘-(1+-x)2- (3− x) (1+ x)

делаем вывод, что $f(x)$ возрастает при $x≤ 1$ и убывает при $x≥ 1$ . Максимальное значение равно $f(1)= 23√2= 3√16-< 3√27,$ поэтому $f(x)< 3.$

Итак, целые значения могут быть только $1$ или $2.$ Воспользуемся тем, что

3 3 2 2 ( 2 ) 4= a +b = (a+b)(a − ab+ b)= (a +b) (a+ b) − 3ab

и тем, что

ab= ∘3(1+x)(3− x)= ∘34-−-(x-− 1)2

( 3) x= 1± 4− (ab)

1) Если $a+ b=1,$ то

4= 1− 3ab ⇐⇒ ab= −1 =⇒ x =1 ±√5-

2) Если $a+ b=2,$ то

4 =2(4− 3ab) ⇐⇒ ab = 2 =⇒ x =1 ±-1√0- 3 3 3

Ответ:

$1± √5,1± 10√3 9$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse