Теория чисел на ПВГ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение в целых числах:
Источники:
Подсказка 1:
Хммм... В условии есть корень, от которого сразу же хочется избавиться. Что можно сделать?
Подсказка 2:
Конечно! Запишем себе где-то на полях условие, что 3x−20y неотрицательно и смело возведём в квадрат. Давайте теперь в левой и правой части разложим выражения так, чтобы получить произведение множителя на скобку. Что можно сказать, помня, что x и y — целые?
Подсказка 3:
Да! Заметим, что (2 + 3y) не может быть равным нулю, поэтому на него можно поделить! Окей, с одной стороны получили всё ещё целый x, а с другой — отношение двух двучленов. Что всё это значит?
Подсказка 4:
Да! Получаем, что часть с игриками должна быть целым числом! Умножим обе части на 9. Получим 9x-30y+20=49/(3y+2). Тогда 3y+2 — делитель числа 49. Осталось только перебрать все возможные случаи и записать ответ!
Подсказка 5:
(Не забудем, что 3x−20y неотрицательно!) Чтобы сократить перебор, можно посмотреть на то, какие остатки дают левая и правая части, например, при делении на 3 ?)
Сначала бездумно возведём обе части в квадрат, в конце уже проверим, чтобы 
было неотрицательно.
Так как 
целые, то можно поделить на ненулевое 
обе части уравнения и получить, что целым числом должно
являться
Поделим многочлен на многочлен в столбик: для начала избавимся от 
для этого надо домножить 
на 
Получим
Теперь разделим 
на 
Тогда
Получим
Тогда получается, что должно быть целым и число
После переноса слагаемых и умножения на 
обоих частей получим
Делителями (целыми) числа 
являются 
Заметим, что только 
дают остаток 
по модулю 
поэтому скобка 
может принимать только эти значения. Разберём случаи
Остаётся проверить, что 
принимает неотрицательные значения для полученных решений. Из трёх кандидатов не подходит
только первая пара, потому что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
