Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

(a) Искомые числа должны быть составлены из цифр , причём по критерию делимости на 3 в каждом числе сумма цифр не должна быть кратной трём. Цифры 1, 4 и 7 (назовём их цифрами множества ) при делении на 3 дают остаток 1, а цифры (цифры множества ) остаток 2. Значит, удовлетворяющее условию число должно быть составлено одним из следующих способов:

1) 4 цифры из множества — таких чисел ;

2) 4 цифры из множества — таких чисел ;

3) 3 цифры из множества и одна цифра из множества — таких чисел ;

4) 3 цифры из множества и одна цифра из множества — таких чисел .

Всего таких чисел .

(b) Для поиска общей суммы цифр всех этих чисел разобьём их на пары: второе число получается из первого заменой всех цифр по принципу

Например, число 1545 имеет пару 8454, число 5271 имеет пару 4728 , и т. д.

Сумма цифр любой пары равна , а число таких пар равно . Значит, искомая сумма всех цифр равна