Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?
Источники:
Подсказка 1
Пусть подарков первого типа a, а второго типа - b. Тогда пряников всего 4a + 3b, а конфет - 9a + 11b. И мы также знаем, что все пряники можно распределить на 17 детей. Что это значит на языке остатков?
Подсказка 2
Это означает, что 4a+3b = 0 по модулю 17. Попробуем выразить a через b по модулю 17: 4a = -3b (mod 17). Вот на что теперь можно умножить это выражение, чтобы слева вышло просто a?
Подсказка 3
Можно на -4) Получится -16a = 12b (mod 17), что равносильно a = 12b (mod 17). Теперь осталось подставить это равенство в выражение 9a+11b и найти его по модулю 17)
Пусть подарков первого вида 
, а второго — 
, тогда 
кратно 17, а спрашивают нас про 
. Заметим, что
, то есть 
, так что такого случиться не может.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы
равен 
. По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор (
, 
) и получается (
, 
), откуда из целочисленности
сразу следует, что 
делится на 17.
нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
