Тема . Ломоносов

Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32159

Найдите все натуральные значения $n,$ удовлетворяющие уравнению

∘ ---2--- ∘ ---2--- 2004[n 1002 + 1]=n[2004 1002 + 1].

Показать ответ и решение

В силу монотонности корня:

∘ ------- ∘------------------(----)2 1002≤ 10022+ 1≤ 10022+2⋅1002⋅-1--+ -1-- =1002+ -1-- 2004 2004 2004

Откуда

2004⋅1002 ≤2004∘10022+-1≤ 2004⋅1002+ 1

Подставляя в исходное уравнение, получим

2004[n∘10022+-1]=2004⋅1002n

[n∘10022-+1]= 1002n

Заметим, что для $n ≤2004$ верна оценка

∘------- ( ) 1002n< n 10022+1 <n 1002+ -1-- = 1002n +1, 2004

а значит, и уравнение, то есть все $n =1,2,...,2004$ являются корнями. Покажем, что других корней нет.

Пользуясь тем, что $[x]=x − {x}$ , где ${x}$ — дробная часть $x$ , получим

∘ ---2--- ∘---2--- n 1002 + 1− 1002n= {n 1002 +1}

Так как область значений ${x}$ равна $[0;1)$ и $n√10022+1 >1002n$ , то из уравнения следует неравенство

n∘10022+-1− 1002n< 1

n < √-----1-------= ∘10022-+1+ 1002 <1002+ -1--+1002= 2004+ -1-- 10022 +1− 1002 2004 2004

n ≤2004

А значит, только $n≤ 2004$ и могли подойти.

Ответ:

${1;2;...;2004}$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse