Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные значения 
удовлетворяющие уравнению
![∘ ---2--- ∘ ---2---
2004[n 1002 + 1]=n[2004 1002 + 1].](/api/latex-service/v1/GetSession/60815/index-7e01f5646b01b9f4e670fddfca9efc24.svg)
Подсказка 1
Внимательно взгляните на правую часть – как бы всё страшно не выглядело, тут у нас под целой частью стоит конкретное число. Так почему бы эту целую часть просто не посчитать? Корень из 1002^2+1 – это 1002 с копейками, но вопрос в том, насколько большие эти копейки
Подсказка 2
Есть честный способ для подсчёта целой части: обозначьте её за k, и тогда то, что внутри ≥k и <k+1 – из такого вот двойного неравенства и найдётся k (подставьте вместо k то, чему вы желаете, чтобы оно было равно, и убедитесь, что двойное неравенство выполнено)
Подсказка 3
Возвращаемся к нашему уравнению! Теперь мы можем сократить на 2004 и получить уравнение с одной целой частью. Внутри целой части выражение очень похоже на то, чему целая часть равна. Так что нам нужно просто найти такой момент, когда n уже настолько большое, что унесёт выражение до следующей целой части. То есть момент, когда аргумент целой части больше либо равен тому, чему целая часть равна + 1 – получается обычное квадратное неравенство! Всё до этого момента нам подойдёт. Помните, что n у нас натуральное, решайте неравенство, и задачка убита!
В силу монотонности корня:
Откуда
Подставляя в исходное уравнение, получим
![2004[n∘10022+-1]=2004⋅1002n](/api/latex-service/v1/GetSession/60813/index-20dce5d0268e2287812fb4c5c0cfd648.svg)
![[n∘10022-+1]= 1002n](/api/latex-service/v1/GetSession/60813/index-592f81be2442d5c021ad56cf741700a7.svg)
Заметим, что для 
верна оценка
а значит, и уравнение, то есть все 
являются корнями. Покажем, что других корней нет.
Пользуясь тем, что ![[x]=x − {x}](/api/latex-service/v1/GetSession/60813/index-77393d28664fbbc025783fe66663db7c.svg)
, где 
— дробная часть 
, получим
Так как область значений 
равна 
и 
, то из уравнения следует неравенство
А значит, только 
и могли подойти.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
