Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

Первое решение.

При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на . Поскольку все выписанные числа были положительными, то получиться не может и если число было кратно , то вместо него останется цифра . Поэтому остаётся посчитать количество остатков каждого вида.

Заметим, что кратно , , тогда если взять числа от , до , то получится подряд набора вида , сумма всех полученных чисел будет равна Но мы не брали числа и , потому нужно вычесть из суммы , откуда и получаем ответ

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Число и сумма цифр числа при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел: , 2 , и так далее. Так как , то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна