Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Источники:
Подсказка 1
Давайте, для начала поймем, какие двузначные числа делятся на 19 или 23. Это числа 19,38,57,76,95 и 23,46,69,92. Значит, если число начинается на 4, то за ним идет цифра 6, так как никакое другое число двузначное и делящееся на 19 или 23, не начинается с 4. А что будет идти после 6? А дальше? А можем обобщить?
Подсказка 2
По аналогичным соображениям, дальше будет идти цифра 9, а вот после нее либо 2, либо 5. Если идет 2, то дальше 3, после 8, а вот дальше ничего не может идти. Упс. Значит, после 9 может идти только 5. После него идёт 7, потом 6, потом 9, а потом, ого, опять 5! А что тогда это значит?
Подсказка 3
Верно, что наша последовательность цифр зациклилась! При этом, у неё предпериод равен 46, а период 9576. Значит, мы можем найти любое число этой последовательности. А значит, и 2022 тоже!
Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это 
Так как
первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: 
дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: 
и так далее. Тогда мы
получаем почти периодическую последовательность: 
в которой период равен 4. Тогда на
2022 месте будет цифра 6, так как 
Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных
позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна
ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят 
Тогда последняя цифра числа
8.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
