Теория чисел на СПБГУ: десятичная запись, оценка+пример, разные системы счисления

Представим исходное число в виде

где — десятичная цифра, — неотрицательные целые числа, причем . Заменив цифру нулем, мы получим число . По условию

Заметим, что (иначе будет отрицательным), откуда . Таким образом, нулём заменяется старшая цифра исходного числа. Кроме того, , иначе . Тогда число кратно 10 и потому оканчивается на 0. В силу условия число оканчивается не на 0. Значит, последняя цифра равна 5 и число нечётно. Поэтому не делится на 16, откуда . Рассмотрим три случая.

1) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 1000, цифра может принимать значения , что дает нам 4 варианта.

2) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 100, цифра равна 2 или 6. Эти значения дают нам еще 2 варианта.

3) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 10, мы получаем .

Заметим, что в 1) получатся четырехзначные числа, во втором случае — трехзначные, в 3 случае — двузначные. Поэтому каждое число, удовлетворяющее условию задачи, входит ровно в один из наборов 1) - 3). Значит, общее количество вариантов равно .