Теория чисел на СПБГУ: десятичная запись, оценка+пример, разные системы счисления
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В восьмеричной системе 
где блок 
повторяется 
раз. Восьмеричное число 
получается из 
некоторой
перестановкой цифр. Оказалось, что восьмеричная запись 
равна 
При каких 
это возможно?
Источники:
Подсказка 1
В условии даны x и xy, значит, верный путь найти y — поделить xy на x. А проще всего это сделать в десятичной системе счисления!
Подсказка 2
Зная количество знаков в записи x и записи y, мы можем сказать, сколько знаков в записи xy. Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы перевести все вычисления в десятичную систему. Чему же равен y?
Подсказка 3
y = 292 * (8^(3n) + 1) / 513. Давайте заметим, что 513 = 8^3 + 1. Попробуйте разложить верхнюю скобку в телескопическую сумму так, чтобы можно было сократить на 513. А на 292 пока можно не обращать внимания — ведь умножить мы всегда успеем.
Подсказка 4
Можно разложить на сумму разностей вида 8^(3n) - 8^(3(n-1)). Получилась странное выражение, но попробуйте записать это число в восьмеричной системе счисления! Сразу понятно, что всё проделанное не зря.
Подсказка 5
Получилось число с повторяющимся блоком 777000. Теперь можно и на 292 домножить — и получится искомый вид числа y!
Подсказка 6
Чтобы найти n, осталось лишь посчитать количество троек в x и в y, ведь количество повторяющихся блоков мы считать умеем. И не забудьте привести пример!
Договоримся восьмеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Запись 
содержит 
блоков вида 
поэтому
Кроме того, 
откуда
Поделив первое равенство на второе, мы получим
Так как 
и 
взаимно просты, на 
должно делиться число 
, поэтому 
нечётно. Заметим, что
где блок 
повторяется 
раз. Поскольку 
и
мы получаем:
где блок из троек повторяется 
раз. Таким образом, в восьмеричную запись 
входит 
троек. С другой
стороны, запись числа 
содержит 
троек. Поэтому 
откуда 
При 
нам подходит число
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
