Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . СПБГУ

Теория чисел на СПБГУ: десятичная запись, оценка+пример, разные системы счисления

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела спбгу
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70478

Натуральное число x в системе счисления с основанием r(r≤ 36) имеет вид ppqq, причем 2q =5p. Оказалось, что r -ичная запись числа 2 x представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева направо и справа налево). Найдите сумму r -ичных цифр числа 2 x.

Источники: СПБГУ-22, 11.4 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Договоримся писать u≡ v (modw ), если .. (u− v) . w. Пусть p= 2s,q = 5s. Тогда

( ) ( ) x= ppqqr = pr2+ q (r+ 1)= s2r2+ 5 (r+ 1)

Из условия на 2 x вытекает равенство

( )( ) ( ) ( ) ( ) s22r2+ 52 r2+ 2r+1 = a 1+ r6 + b r+r5 + cr2+ r4 ,
(1)

где a,b,c — некоторые r -ичные цифры. Сделаем два наблюдения.

1) При любом натуральном n

rn =(1+ r− 1)n ≡ (−1)n(1− n(1 +r)) (mod(1+ r)2)

Левая часть (1) кратна (1+ r)2, откуда

0≡a(2− 6(1+ r))− b(2− 6(1+r))+c(2− 6(1+ r))=

= 2(1− 3(1 +r))(a− b+c) (mod (1+ r)2)

Поскольку 1− 3(1+ r) взаимно просто с (1+ r)2, на (1+ r)2 делится 2(a− b+ c). Но это число лежит в интервале ( ) (−2r,4r)⊂ − (1 +r)2,(1+r)2 , откуда b =a+ c.

2) Приравняем остатки левой и правой частей (1) от деления на 1+ r2 :

18s2r≡ br(1+ r4)≡2br (mod (1+r2))

Поскольку r взаимно просто с 1+ r2, на 1+r2 делится ( ) 2 9s2− b . Заметим, что 4s2 ≤ r− 1 , иначе число x2 будет восьмизначным. Кроме того, r ≥5s+ 1≥ 6 . Поэтому

2(9s2− b)< 18s2 ≤ 9(r− 1)< 6r< 1+ r2 2

2(9s2− b)≥− 2b >− 2r >− 1− r2

Таким образом, b= 9s2.

Поскольку b — r -ичная цифра, из 2) вытекает, что 9s2 < r≤ 36 , откуда s2 < 4. Так как s> 0, мы получаем s= 1 и b= 9. В силу 1) сумма цифр x2 равна 2(a +b+ c)=4b= 36.

Замечание.

Прямым вычислением проверяется, что 2255221 = 495059421 . Таким образом, описанная в условии ситуация реализуется.

Ответ: 36

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!