Теория чисел на СПБГУ: десятичная запись, оценка+пример, разные системы счисления
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные числа от 
до 
причем 
чисел покрашены в зеленый цвет. При каком наибольшем 
может оказаться так, что
ни одна степень двойки не покрашена и не представима в виде суммы двух зеленых чисел?
Подсказка 1
К нашему множеству достаточно близко находится число 2048, являющееся одиннадцатой степенью двойки, а его половина, 1024, находится почти посередине данного множества. Можно ли как-то числа данного множества на пары так, чтобы их сумма была 2048?
Подсказка 2
Конечно, все числа разбить не выйдет, но можно выделить пары: 1024 - k и 1024 + k для k от 1 до 1016, в которых хотя бы одно число не окрашено. А какие из чисел, не попавших ни в какую пару, тоже не окрашены?
Подсказка 3
Конечно! По аналогичным причинам (1,7), (2,6) и (3,5) имеют неокрашенное число, а числа 4 и 1024 по условию не окрашены. Тогда выходит, что n не превосходит 1019. А как можно привести пример?
Подсказка 4
Между соседними степенями двойки достаточно быстро увеличивается расстояние при увеличении степеней. Можно ли большинство чисел окрасить так, чтобы их сумма находилась между какими-то соседними степенями двойки?
Рассмотрим пары вида 
где 
В каждой паре имеется хотя бы одно непокрашенное число, поскольку
Аналогичным образом получается, что пары 
содержат не менее трех непокрашенных чисел. Наконец, числа 
и
не попавшие ни в одну из пар, по условию тоже не окрашены. Таким образом, имеется не менее 
непокрашенных чисел, откуда
Покажем, что полученная оценка реализуется. Покрасим числа 
а также все числа от 
до 
Пусть 
и 
— зеленые
числа. Нам достаточно проверить, что 
не является степенью двойки. Если 
то это очевидно. В случае 
мы
получаем 
Наконец, если 
и 
то 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
