Планиметрия на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— две такие окружности с центрами 
и 
соответственно, что окружность 
проходит через точку 
На окружности
вне окружности 
выбрана точка 
Касательные к 
проходящие через 
касаются 
в точках 
и 
и вторично
пересекают 
в точках 
и 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Подсказка 1
Одна окружность проходит через центр другой не просто так. Пользуйтесь этим. Чем является прямая OM в угле AMB? А что можно сказать про отрезки CO, OD и точки C, D?
Подсказка 2
Итак, предлагается следующая идея. Давайте обозначим точку пересечения CD и OP через E' и докажем, что она лежит на AB.
Подсказка 3
Для реализации подсказки 2 нужно просто немного посчитать углы. С этим вам поможет вписанный четырёхугольник ACE'O.
Для начала заметим, что поскольку 
и 
— касательные к окружности 
а точка 
— центр 
то 
Значит,
т. е. дуги 
и 
окружности 
равны, т. е. точки 
и 
симметричны относительно прямой
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
В силу симметрии 
и 
мы знаем, что 
Докажем, что 
Для этого достаточно проверить, что 
лежит на прямой 
Пусть 
Вписанный угол в два раза меньше центрального, поэтому
Поскольку 
из равнобедренного треугольника 
получаем, что 
Далее, в четырёхугольнике 
известно, что 
(первое равенство — угол между радиусом и касательной, второе равенство доказано выше), поэтому
этот четырёхугольник вписанный и
где второе равенство следует из симметрии точек 
и 
а третье — из того, что вписанный угол в два раза меньше центрального,
опирающегося на ту же дугу. Итак, точка 
лежит на том же луче, выходящем из точки 
что и точка 
поэтому 
лежит на 
откуда 
что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
