Планиметрия на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр описанной окружности остроугольного треугольника 
а 
— точка пересечения его высот. Оказалось, что
прямая 
параллельна стороне 
На плоскости отметили такую точку 
что 
— параллелограмм. Отрезки
и 
пересеклись в точке 
В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки 
на отрезок 
делит
Источники:
Подсказка 1
Давайте постепенно раскручивать задачу и понимать, для чего нам дали факты из условия. Предположительно вообще вы можете угадать ответ, и он вас будет как-то направлять, но в любом случае нужно понаблюдать за картинкой. Зададим себе правильные наводящие вопросы. Для чего нам дали параллельность OH? Это ведь не в любом треугольнике верно. Что можно сказать про углы и получившуюся фигуру с параллельными прямыми?
Подсказка 2
Верно, так как высота перпендикулярна стороне BC, то она перпендикулярна и OH из параллельности. Пусть у нас проведена высота AD. Также у нас получилась трапеция. А значит, перпендикуляр OT равен HD. Какой факт тогда можно вспомнить об этих отрезках? Тут полезно вспомнить про прямую Эйлера и факты, связанные с ней.
Подсказка 3
Точно, OT будет в два раз меньше AH из-за подобия треугольников OMT и AHM, где M — это точка пересечения медиан. Но тогда 2HD=AH. Отлично, уже лучше! Теперь займёмся параллелограммом. Заметим, что у нас сторона AK перпендикулярна AC. Что можно подумать тогда сделать? Хотелось бы, чтобы отрезок AK был получше связан с картинкой. Может, стоит продлить его до пересечения с чем-нибудь?
Подсказка 4
Ага, давайте продлим AK за точку A. Тогда с чем хорошо пересечь эту прямую, учитывая 90 градусов? Конечно, давайте пересечём с описанной окружностью треугольника в точке N. Тогда точки N и C диаметрально противоположные. Откуда O лежит на CN. А что ещё можно сказать про точку N? Как она связана с ортоцентром?
Подсказка 5
Верно, точка N центрально-симметричная H относительно AB, так как CN это диаметр. Тогда у нас получается ещё один параллелограмм AHBN. Откуда получается, что AN =BH = AK. Давайте теперь обратим внимание на треугольник NKC. Чем в ней является отрезок OK? А отрезок CA?
Подсказка 6
Точно, это же медианы в треугольнике NKC! Но тогда L — это точка пересечения медиан. Отлично, про точку, казалось бы, непонятно каким образом относящуюся к картинке, мы установили такой факт. Остались последние шаги. Какой факт мы знаем про точку пересечения медиан? Как это можно связать с фактом из 3 подсказки?
Подсказка 7
Верно, точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 к 1 от вершины. Теперь вспоминая, что мы проводили перпендикуляр из L на AH, можем применить теорему Фалеса и равенство отрезков. Победа!
Пусть 
— основание высоты из точки 
а 
— основание перпендикуляра, опущенного из точки 
на 
Прямая 
—
серединный перпендикуляр к отрезку 
поэтому она параллельна высоте 
По свойству ортоцентра 
и 
По условию прямые 
и 
параллельны, следовательно, 
—
прямоугольник и 
Первое решение.
В параллелограмме 
противоположные стороны равны, поэтому 
Треугольники 
и 
подобны по
двум углам (
как вертикальные, 
и их коэффициент подобия равен 2. Пусть 
тогда
и 
поскольку 
— середина стороны 
Стало быть, 
и 
так как
треугольники 
и 
подобны. Пусть 
тогда 
и 
Следовательно, 
и
Таким образом, 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
По условию прямые 
и 
параллельны, а прямая 
перпендикулярна прямой 
поэтому 
По
условию 
параллелограмм, значит, 
Отрезок 
— средняя линия треугольника 
поэтому
Кроме того, 
и 
перпендикулярны 
поэтому точки 
и 
лежат на
одной прямой. Таким образом, 
и 
параллельна 
Стало быть, 
— параллелограмм.
Пусть 
— точка пересечения его диагоналей, тогда 
Следовательно, 
и 
— медианы треугольника
, а 
— точка их пересечения, поэтому 
и, значит, 
Из подобия треугольников
и 
следует, что 
Тогда если 
то 
и 
а, значит, 
и
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Третье решение.
Пусть точка 
— пересечение этой высоты с описанной окружностью треугольника 
точка 
диаметрально противоположна
точке 
на этой окружности, а точка 
— вторая точка пересечения прямой 
с этой окружностью. Из параллельности прямых 
и 
следует, что прямая 
перпендикулярна высоте 
Поскольку 
— диаметр окружности, 
и,
значит, прямые 
и 
параллельны. Стало быть, 
— средняя линия треугольника 
поэтому 
Далее,
поэтому в треугольнике 
отрезок 
является биссектрисой и высотой, а, значит, и медианой. Таким образом, 
Из
равенств 
и 
получаем, что 
По условию прямые 
и 
параллельны, а прямая 
перпендикулярна прямой 
поэтому 
и точки 
и 
диаметрально противоположны. Следовательно, 
и поэтому прямые 
и 
параллельны. Таким образом,
четырехугольник 
является параллелограммом. Стало быть, 
и отрезок 
является медианой в треугольнике
Но отрезок 
также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, 
— точка пересечения медиан этого треугольника
и 
Тогда по теореме Фалеса 
Но мы уже знаем, что 
поэтому 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
