Планиметрия на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали вписанного четырехугольника 
пересекаются в точке 
. Пусть 
и 
— точки пересечения описанной
окружности треугольника 
с прямыми 
и 
соответственно. Найдите отношение 
, если известно, что
.
Источники:
Подсказка 1
Что первым стоит делать в задаче с окружностями и вписанным четырёхугольниками? Считать и перекидывать углы. Сделайте это и много интересных фактов про картинку сможете заметить. К примеру, тот факт, что углы, которые не являются углами, опирающимися на одну хорду, равны, уже многое значит.
Подсказка 2
Как минимум, мы можем заметить, что углы BDC, BCA и BDA равны. Какие группы углов равны на картинке и не факт, что равны этим углам?
Подсказка 3
Также обычным перекидыванием углов, предыдущим углам равны углы BAC и CLO. И группа DCA, DBA и OKA. Ого, но ведь тогда так как углы при основаниях равны, равны отрезки LO и OC. Значит, если бы мы доказали, что KO = OC, то мы бы решили задачу и нашли отношение. А мы можем это доказать?
Поскольку четырехугольник 
вписанный, верны равенства 
и 
.
Заметим также, что 
по условию и 
как углы, опирающиеся на одну дугу. Тогда
Поэтому треугольник 
равнобедренный, то есть 
. Кроме того,
Значит, треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне, откуда 
. Таким образом, 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
