Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела росатом
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67504

Решите уравнение f(x)= √3⋅g(x)  для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x;

g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на sinx  (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида x= πn,n ∈ℤ  решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

  √-
=  3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-=
                     2

  √-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x
=  3                  2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ -
--3sin2022x + 1cos2022x= 1
 2          2         2

  (        )
sin 2022x + π = 1
          6   2

Откуда x= πn-,n∈ ℤ
   1011  или x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ
    3033  1011  . Осталось учесть условие sinx ⁄=0,  так что n ⁄=1011m,m ∈ℤ.

Ответ:

-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ
10113033  1011

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!