Стереометрия на Росатоме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Медианы оснований треугольной призмы 
пересекаются в точках 
и 
соответственно. На отрезке 
взята точка 
так, что 
. Через точку 
проведена прямая параллельная диагонали 
боковой
грани призмы. Найти длину отрезка этой прямой, расположенного внутри призмы, если длина диагонали 
равна
2.
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрим сечение призмы XYZT, проходящее через OO₁ и параллельное грани ACC₁A₁. Прямая, проходящая через точку Р и параллельная А₁С, будет лежать как раз в этом сечении. А искомый отрезок - это часть этой прямой, ограниченная четырехугольником XYZT. А какой фигурой является XYZT? Как относятся ее стороны к сторонам призмы?
Подсказка 2
Верно, XYZT - параллелограмм. ZT = XY = A₁A, XT = YZ = 2/3 * AC, так как точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2 к 1. Теперь нужно подумать, с помощью чего мы можем "перенести" плоскость ACC₁A₁ на плоскость XYZT?
Подсказка 3
С помощью гомотетии! Сделаем гомотетию в точке В₁ с коэффициентом 2/3. Подумайте, куда перейдут точки, лежащие в плоскости ACC₁A₁.
Подсказка 4
Например, точка А₁ перейдет в точку Х. Постройте прямые, параллельные А1С, через точки Х и Z. Чему будут равны отрезки этих прямых, отграниченные параллелограммом XYZT? Равна ли искомая прямая этим отрезкам?
Рассмотрим сечение призмы 
, проходящее через 
и параллельное грани 
. Это параллелограмм, а 
— его средняя
линия.
Сделаем гомотетию в точке 
с коэффициентом 
. Тогда точки 
и 
перейдут в 
и 
, потому что точка пересечения
медиан делит медиану в отношении 
к 
. Точка 
перейдёт в точку 
, делящую отрезок 
в отношении 
к 
(до гомотетии
отрезок 
был половиной 
, а после он перешёл в 
, который равен 
). При этом прямая 
будет пересекать отрезок
в точке 
, поскольку в параллелограмме 
прямая 
пересекает вершину 
, а в параллелограмм 
отличается
от 
лишь тем, что длины сторон 
и 
короче, а значит, точка пересечения прямой 
с прямой 
будет лежать ниже
точки 
.
Аналогично, прямая, проходящая через 
параллельно прямой 
будет делить 
в отношении 
к 
, но уже считая от точки
, и она будет проходить через отрезок 
. Значит, прямая 
будет лежать между этими двумя прямыми и также
проходить через отрезок 
. Значит, отрезок нужной прямой — это отрезок прямой 
, содержащийся в параллелограмме
.
Поскольку 
, длина этого отрезка будет равна 
. Отрезок 
— образ 
при гомотетии, значит, он равен
.
Также 
, то есть искомая длина — 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
