Теория чисел на Росатоме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем найти явную формулу для разложения числа. Чтобы было удобно, можно попробовать выражать слагаемые через некоторое число n. Какие тогда можно сложить кубы, чтобы результат получится "красивым" (многое в сумме сократилось)?
Подсказка 2
Попробуйте сложить кубы чисел, которые по модулю отличаются друг от друга на не более, чем 2. Тогда, если аккуратно раскрыть результат по формулам сокращенного умножения, многое сократится.
Подсказка 3
Что получится, если сложить кубы чисел, по модулю равных (n+1) и n? Какой вывод из этого можно сделать и как быть с остальными числами?
Подсказка 4
Отлично, мы пришли к тому, что числа вида 6n можно выразить в виде суммы четырёх кубов! Осталось лишь аккуратно придумать, как "добрать" отстаток по модулю 6 у остальных чисел при помощи кубов и выразить 2020 по придуманным формулам!
Заметим, что для любого 
т.е. любое целое число вида 
можно представить в виде суммы кубов четырех, а значит, с учетом нуля, и пяти целых чисел. Числа
вида 
могут быть представлены в форме
Числа вида 
представляются суммой пяти кубов:
Для чисел вида 
справедливо представление:
Наконец, для 
справедливо представление:
Представление числа 
может быть получено по формуле (3) для 
:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
