Теория чисел на Росатоме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько существует пар натуральных чисел 
, у которых 
, а 
? (пары
неупорядоченные, то есть 
и ( 
считайте одинаковыми)
Среди всех таких пар укажите ту, для которой 
принимает минимально возможное значение, и найдите это значение.
Источники:
Подсказка 1
Вспомним основную теорему арифметики - из нее следует, что НОК и НОД это взятие соответственно максимума и минимума по степеням простых множителей в наших двух числах. У наших чисел всего максимум 4 вида простых множителей -2,3,5,7. Попробуйте с этим знанием понять, какие степени этих множителей могут быть в наших числах.
Подсказка 2
Например, в 12 двойка входит во 2 степени, а в 17640 в 3. Тогда получаем min(степень 2 в первом числе, степень 2 во втором числе}= 2,max = 3. Попробуйте применить аналогичное рассуждение к остальным делителям и посчитать количество вариантов!
Подсказка 3
Подумаем о минимальной сумме: Мы знаем, что из основной теоремы арифметики следует, что a⋅b= НОК (a,b)⋅НОД(a,b)= 12⋅17640! Тогда мы знаем произведение чисел. Давайте попробуем понять, когда сумма двух чисел минимальна, если произведение фиксировано!
Подсказка 4
Это происходит, когда числа максимально близки друг к другу! Например, 4*5 = 20 = 10*2, то 4+5 < 2+10. Для того, чтобы строго это доказать, можем обратить к производной этого выражения. Осталось подобрать числа, которые будут максимально близки, при этом давать в произведении 12*17640! И проверку не забыть :)
Из основной теоремы арифметики следует, что 
и 
двух чисел можно рассматривать как взятие соответственно максимума и
минимума по степеням простых множителей в этих двух числах. Пусть 
— степени соответствующих простых в числе 
. Пусть
— степени соответствующих простых в числе 
.
Поскольку 
, то получаем 
, то есть для степеней двоек есть два случая 
,
которые мы считаем одним. Для степеней троек аналогично получаем 
, для остальных действуем полностью
аналогично. В итоге получается 
случаев. В условии написано, что пары 
неупорядоченные, т.е. 
, поэтому общее
число пар должно быть уменьшено вдвое.
Для поиска наименьшей суммы приведём два способа:
Первый способ.
Из основной теоремы арифметики следует, что 
. По неравенству о средних при фиксированном
произведении чисел их сумма тем больше, чем больше одно число отличается от другого (сумма вида 
, производная которой
равна 
возрастает при 
). Поэтому нам нужно найти максимально близкое значение к корню из этого
произведения. 
это общий НОД, так что остаётся составить из имеющихся множителей ближайшее к 
число.
Второй способ.
Просто сделаем полный перебор для этих восьми пар, чтобы быстро посчитать и забрать свои баллы за задачу
Осталось выбрать наименьшую сумму и выписать ответ.
пар, наименьшее значение суммы равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
