Теория чисел на Росатоме

Распишем числитель дроби следующим образом:

Выделим целую часть в дроби:

Если исходная дробь сократимая, то дробь так же сократимая, то есть числа и 14 имеют общий делитель, больший 1. При этом у 14 есть три натуральных делителя, больших 1: 2, 7, 14. Пусть — наибольший общий делитель 14 и При этом, так как у 14 есть три натуральных делителя, больших 1: 2, 7, 14, — то у нас есть три варианта:

Заметим, что — чётное при любом натуральном а значит, чтобы все число делилось на 2, должно делиться на 2, откуда — чётное. Существует 1010 четных натуральных чисел, не превосходящих 2020.

Заметим, что должно делиться на 7, чтобы делилось на 7, так как делится на 7 при любом натуральном Отсюда, должно иметь остаток 5 при делении на 7. Посмотрим, при каких это возможно, рассмотрев все остатки по модулю 7. Для этого начертим таблицу, где слева будет число, а справа его остаток при делении на 7.

	0	1	2	3	4	5	6
	0	1	4	2	2	4	1
	0	6	3	5	5	3	6

Получается, если имеет остаток 3 или 4 при делении на 7, то делится на 7. Существует 145 нечётных натуральных чисел, не превосходящих 2020 и имеющих остаток 3 по модулю 7, и 144 нечётных натуральных числа, не превосходящих 2020 и имеющих остаток 4 по модулю 7.

Заметим, что Если делится на 14, то оно делится ещё и на 2, то есть — чётное, а все четные мы уже учли. А на 14 делиться не может, так как это нечётное число. Получается, если делится на 14, то делится на 2, а делится на 7, но это верно только при чётный которые мы уже посчитали.

Итак, всего чисел, при которых исходная дробь сократима: