Теория чисел на Росатоме
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что дробь 
сократимая для некоторых взаимно простых целых чисел 
и 
. Найти наибольшее простое число 
,
на которое делится числитель и знаменатель дроби.
Подсказка 1
Если дробь A/B сократима на d, это значит, что и числитель A, и знаменатель B делятся на d без остатка. Запишите это по-умному.
Подсказка 2
Раз у нас d делит произведения, давайте рассмотрим возможные комбинации. Всего их четыре.
Подсказка 3
Посмотрите на условие: m и n — взаимно простые. Может ли у них быть общий простой делитель d? Подумайте, что это значит.
Подсказка 4
Вспоминаем важный приём из теории чисел: если d | a и d | b, то d делит и их линейную комбинацию (например, сумму). Примените это здесь.
Подсказка 5
Если d делит (m + 69n) и d делит m, то d делит их разность ((m + 69n) - m) = 69n. Мы знаем, что d простое. Может ли d делить n?
Подсказка 6
Разложите 69 на простые множители и сделайте вывод, каким может быть d. Разберите симметричный случай.
Подсказка 7
В последнем случае надо доказать, что d не может делить n, и тогда d будет делить (69² - 1). Разложите это число на простые множители.
Рассмотрим три случая
Если 
делится на 
, и 
делится на 
, то и их разность делится на 
, поэтому 
делится на 
, но 
взаимно просто с
, следовательно и с 
. Откуда 
делится на 
, значит, 
.
Случай: 
делится на 
, и 
делится на 
разбирается аналогично.
Если же 
и 
делятся на 
, то и число 
делится на 
.
Случай, когда 
делится на 
был рассмотрен выше. Значит, можно считать, что 
делится на 
,
откуда в этом случае 
.
Осталось привести пример на 
. Подходят 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
