Теория чисел на ФЕ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Юлианский календарь устроен так: каждый год с номером, кратным 
— високосный; в обычном году 
дней, а в
високосном — на 
больше; кроме этого, есть семидневная неделя. В результате существуют 
видов года: невисокосный год,
начинающийся в понедельник, во вторник, . . ., в воскресенье; високосный год, начинающийся в понедельник, во вторник, . . ., в
воскресенье.
Когда земляне поселились на планете Ялмез, то ввели календарь, в котором каждый год с номером, кратным 
— високосный; в
обычном году 
дней, а в високосном — на 
больше; неделя по-прежнему состоит из 
дней. Оказалось, что в таком календаре ровно 
видов года. Найдите все возможные значения 
Источники:
Подсказка 1
Сосредоточьтесь на остатках при делении длины года на 7. Обычный год дает остаток х, високосный — х+1. Как это влияет на день начала следующего года? Есть ощущение, что именно остаток определяет, на какой день недели сдвинется начало следующего года
Подсказка 2
Рассмотрите полный цикл из v лет. Суммарный сдвиг составит vx+1 дней. Что происходит, когда это число кратно 7? А когда не кратно?
Подсказка 3
Если сдвиг не кратен 7, за v лет пройдут все возможные варианты начала года. Как это влияет на общее количество типов годов?
Лемма. Если 
не кратно 
то среди чисел
встречаются числа со всеми остатками от деления на 
Если это не так, то какие-то два из семи остатков совпадают, но разность между соответствующими числами равна 
где 
а
взаимно просто с 
то есть не кратна 
Заметим, что нас интересует не сама длина года, а только её остаток от деления на 
который далее и будем обозначать (для
обычного года) 
Ежегодно номер начального дня недели сдвигается на 
для обычного года и на 
для високосного.
Например, если на планете Земля 
год обычный и начинался во вторник, т. е. в день 
то 
год начинается в день
(где 
— остаток от деления 
на 
а 
— в день 
(где 
— остаток от деления 
на
Тогда за 
лет номер начального дня сдвигается на 
(например, для Земли на 
). Если 
не кратно 
то встречаются
все 
типов високосных лет (см. лемму); но тогда все годы перед ними («предвисокосные») тоже различаются, итого имеем все 
типов
лет. Если 
кратно 
то последовательные високосные годы всё время одинаковы. Примеры (указаны длины лет по модулю
Получить ровно 
типов лет невозможно: если в цикле 
обычных лет и один високосный (то есть 
то число дней в цикле
не кратно 
если в цикле больше 
обычных лет и длина каждого из них не кратна 
то все 
типов обычных лет
встречаются; если длина бычного года кратна 
то длина цикла не кратна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
