Системы на Межведе

Докажем, что . Умножим уравнение (a) исходной системы

на и вычтем из него уравнение (б), умноженное на . В результате получим

Здесь . Аналогично, из (в) и (г) находим, что

Заметим, что , так как в противном случае из (3) следовало бы, что , а значит и , что противоречит условию задачи. Остается выразить и из (2) и (3) и подставить полученные выражения в (1). Справедливость соотношения (1) будет тем самым доказана. Далее из уравнения (г) и равенства (1), следует, что .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Система уравнений в задаче — это покомпонентная запись матричного равенства:

Хорошо известно, что если произведение двух матриц равно единичной, то такие матрицы коммутируют, а значит система уравнений в задаче останется справедливой, если в ней все заменить на и наоборот. Из этого наблюдения равенство (1) следует немедленно.