Тригонометрия на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что число 
является корнем уравнения
Найдите остальные четыре корня этого уравнения.
(Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т.п.)
Источники:
Подсказка 1
Давайте искать решение в виде t = cos(x). Подставим его в уравнение и попробуем преобразовать левую часть. Какими формулами можно воспользоваться, чтобы уменьшить показатели степени?
Подсказка 2
Вынесем 2cos(x) за скобки и с помощью формул понижения степени преобразуем левую часть уравнения.
Подсказка 3
После того, как мы понизим все степени до первой, можно будет преобразовать разность косинусов и раскрыть скобки!
Подсказка 4
-4sin(3x)sin(2x) + 2cos(x) = -2(cos(x) - cos(5x)) + 2cos(x). Какой вывод можно сделать из данной цепочки неравенств? Вспоминаем условие!
Подсказка 5
Найдите cos(5x), используя цепочку преобразований и правую часть!
Будем искать решение в виде 
(на это намекнули в условии задачи). Получаем уравнение
Преобразуем его левую часть:
![2 cosφ(16cos4φ − 20cos2φ +5)= [формулы понижения] =
( 2 )
= 2cosφ(4(1+cos2φ)− 10− 1)0cos2φ+ 5 =
= 2cosφ 4cos22φ − 2cos2φ− 1 =2cosφ(2(1+ cos4φ)− 2cos2φ− 1)
== 2cosφ(−4sin 3φ sinφ+ 1)= −4sin3φsin 2φ +2 cosφ =
= −2(cosφ− cos5φ)+ 2cosφ =2cos5φ.](/api/latex-service/v1/GetSession/195148/index-0fdcd727b8501bd438050c8fc3ad511f.svg)
В итоге получили
Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтобы их предъявить, достаточно взять
какие-нибудь пять значений 
, косинусы которых различны. Например,
Остальные четыре корня имеют вид 
, где 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
