Перенос, замена, приписывание, стирание цифр
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхзначное число 
не кратно 10. Сумма числа 
и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна 
.
Оказалось, что число 
делится на 100. Найдите 
.
Подсказка 1
Пусть наше число Х имеет вид abcd, тогда обратно записанное к нему: dcba. Теперь воспользуемся простыми свойствами делимости на 10 и 100. Что можно сказать про числа abcd (X), dcba (обратное) и abcd + dcba (N), пользуясь этими свойствами? Хотим для начала по отдельности сделать какие-то выводы про a, b, c и d.
Подсказка 2
Для начала делаем вывод, что d не равно 0, так как X не делится на 10. Что тогда можно сказать про другие цифры?
Подсказка 3
Замечаем, что d + a = 10, так как d + a > 0 из условия на d, а сумма больше 18 в принципе получиться не может. Здесь мы сделали вывод про вид числа N, теперь смотрим на следующие его разряды.
Подсказка 4
Получаем, что c + b = 9 (не забываем про единичку из прошлого разряда), так как N делится на 100. А теперь записываем наши числа в стандартном виде, например X = 1000a + 100b + 10c + d и, наконец, находим N.
Так как 
не делится на 10, то последняя цифра — не 
Пусть 
где 
— цифры.
Из условия следует уравнение
Первое решение.
Так как 
оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то 
Тогда 
оканчивается на 10,
поэтому 
Получаем
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи
Приводим подобные слагаемые
Так как 
делится на 
то на 
тоже делится. Тогда и 
Заметим, что 
тогда 
и, так как 
и 
— взаимно простые, то 
делится на 10. Но 
и 
—
цифры, и их сумма не больше 
, и при этом больше 
так как по условию 
Единственное кратное 
число в этом промежутке —
поэтому 
Пусть 
Вернемся к нашему равенству, и подставим в него 
и 
Сокращаем на 10
Справа число, делящееся на 
Так как 
то 
Так как 
то
Так как, 
и 
— цифры, то их сумма хотя бы 
и не больше 
а единственное число с остатком 
при делении на 
в этом
промежутке — это 
Тогда 
Теперь найдем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
