Тема 18. Задачи с параметром

18.13 Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31554

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых все решения уравнения

1−x2−2ax−2a |x+-a|+-5|a−-1| 3 = log3 2|a− 1|

принадлежат отрезку $[−3;0]$ .

Показать ответ и решение

Так как

2 2 2 2 2 2 1− x − 2ax − 2a= −(x + 2ax +a )+a − 2a+ 1= −(x+a) + (a − 1),

то после замены $t= x+ a$ , $b= a− 1$ получаем

b2−t2 |t|+-5|b| 3 = log3 2|b|

Заметим, что $|b|⁄= 0$ , то есть $b⁄= 0$ . Будем далее это учитывать.

Так как

x∈ [− 3;0] x+ a∈ [−3 +a;a] t∈[b− 2;b+ 1]

то уравнение с $t$ должно иметь решения, принадлежащие отрезку $[b− 2;b+ 1].$

Пусть $f(t)=3b2−t2$ , $g(t)= log3 |t|+2|5b||b|$ . Заметим, что обе функции четные, так как $f(−t)= f(t)$ , $g(− t)= g(t)$ . Следовательно, если у уравнения есть решение $t0$ , то у него также есть решение $− t0$ . Заметим также, что при $t≥0$ : функция $y =f(t)$ убывающая (так как является композицией возрастающей функции $y = 3t$ и убывающей $y =− t2+ b2$ ), функция $y = g(t)$ является возрастающей (как композиция двух возрастающих функций $y = log3t$ и $y = t+52||b|b|$ ), следовательно, уравнение $f(t)= g(t)$ при $t≥0$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что $t= |b|$ является решением этого уравнения. Следовательно, $t=− |b|$ также является решением этого уравнения. Значит, нужно, чтобы

({ |b|≤b +1 b− 2≤ −|b|≤|b|≤ b+ 1 ⇔ ( ⇔ − 1 ≤b ≤1 −|b|≥ b− 2 2

Так как $b⁄= 0$ , то

( 1 ( 1 {− 2 ≤ b≤1 ⇒ { 2 ≤ a≤ 2 (b⁄= 0 (a ⁄=1

Ответ:

$a ∈[0,5;1)∪ (1;2]$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

18.13 Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ