18.06 Алгебра. Теорема Виета

Обозначим , , . Тогда , может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю, а . Неравенство тогда принимает вид

Дискриминант числителя равен , так как и . Аналогично дискриминант знаменателя положителен. Следовательно, и числитель, и знаменатель имеют по два корня.

Предположим, что какой-то корень числитель совпал с корнем знаменателя (обе пары совпасть не могут, так как тогда , что невозможно, ибо получаем уравнение , не имеющее корней). Пусть корни числителя и , а знаменателя . Заметим, что ни один из них не может быть равен нулю, так как их произведение . Тогда имеем

Противоречие. Следовательно, корни числителя отличаются от корней знаменателя. Пусть корни знаменателя будут называться и . Тогда уже на методе интервалов рисунок будет следующий:

Где – какие-то из чисел . Значит, нам нужно, чтобы .
Заметим, что так как произведение корней числителя/знаменателя отрицательно, то они разных знаков. Без ограничения общности примем , . Тогда уже – это или , а – это или .

Рассмотрим все возможные расстановки корней (а также в эту последовательность добавим число для наглядности):

Из первой расстановки следует, что , , что не противоречит , и .
Из второй расстановки следует, что , , откуда следует, что , что противоречит тому, что .
Аналогично для третьей расстановки.
Из четвертой расстановки следует, что , . Но по доказанному выше: , , следовательно, получаем следующую цепочку: . Отсюда получаем, что , что противоречит доказанному выше.

Таким образом, мы заключаем, что возможна только единственная расстановка корней – первая. Тогда решением неравенства будет . Следовательно, нужно, чтобы