18.06 Алгебра. Теорема Виета

Выпишем ограничения на параметр

Выпишем ограничения на :

Перейдем к новому основанию во втором логарифме и перепишем уравнение в виде

Заметим, что

Сделаем замену . Так как , то . Для каждого другого существует ровно один корень (так как каждому корню соответствует ровно один находимый из уравнения

Тогда уравнение можно привести к виду (не забываем про условие )

Данное квадратное относительно уравнение может иметь максимум два корня, следовательно, исходное уравнение может иметь максимум два корня .

Поставим условие на то, что это уравнение имеет два корня, то есть на его дискриминант:

Следовательно, , следовательно, , откуда . Значит, так как по теореме Виета сумма корней получаем и .

Поставим условие на то, чтобы ни один из корней не был равен нулю. Это условие равносильно тому, что произведение корней не равно нулю, то есть , откуда .

Таким образом, для получения итогового ответа нужно найти значения из следующей системы

Тогда ответ .