18.06 Алгебра. Теорема Виета

Обозначим . Пусть и – дискриминанты числителя и знаменателя соответственно. Тогда , при любых . Следовательно, числитель и знаменатель имеют по два различных корня, причем корни и числителя – разных знаков, корни и знаменателя – тоже, так как , а по теореме Виета.
Проверим, могут ли корни числителя совпадать с корнями знаменателя.
Пусть, без ограничения общности, . Так как свободный член числителя и знаменателя совпадает, то . Следовательно, . Но тогда по теореме Виета совпадал бы и коэффициент перед , то есть , что невозможно. Следовательно, множество корней числителя не имеет пересечений со множеством корней знаменателя.
Будем решать данное неравенство методом интервалов. Тогда нам нужно отметить на числовой прямой нули числителя и знаменателя, тем самым мы получим 5 промежутков, знаки на которых справа налево будут следующими: . Чтобы понять, как выглядят промежутки с “” (эти промежутки и будут составлять множество решений), нужно понять, как числа располагаются друг относительно друга.
Без ограничения общности, так как корни разных знаков, примем , , , . Заметим, что так как , то есть сумма неположительна, то отрицательный корень по модулю не меньше положительного, следовательно, . Так как , то здесь дело обстоит наоборот и .
Рассмотрим все возможные расстановки корней (а также в эту последовательность добавим число для наглядности):




Из первой расстановки следует, что , , что не противоречит , и .
Из второй расстановки следует, что , , откуда следует, что , что противоречит тому, что .
Аналогично для третьей расстановки.
Из четвертой расстановки следует, что , . Но по доказанному выше: , , следовательно, получаем следующую цепочку: . Отсюда получаем, что , что противоречит доказанному выше.

Таким образом, мы заключаем, что возможна только единственная расстановка корней – первая. Тогда решением неравенства будет . Следовательно, нужно, чтобы