Тема 18. Задачи с параметром

18.06 Алгебра. Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38373

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

x3− ax2− (a3− 6a2+ 5a+ 8)x− (a− 3)3 =0

имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию. Укажите эти корни.

ПВГ, 2011

Показать ответ и решение

Так как корни образуют геометрическую прогрессию и различны, то можно записать их в виде $b$ , $bq$ , $2 bq$ , причем $b⁄= 0$ , $|q|⁄= 0;1$ . По теореме Виета для кубического многочлена имеем, что

( 2 |||{ b+ bq+ bq =a b⋅bq+ b⋅bq2 +bq⋅bq2 = −(a3− 6a2+ 5a+ 8) ⇔ |||( 2 3 b⋅bq⋅bq = (a − 3) ( |||{ b(1 +q +q2)= a b2q(1+ q+ q2)= −(a3− 6a2+5a +8) |||( bq = a− 3

Разделив второе равенство на первое (что возможно, так как никакая из частей равенств не равна нулю), получим в левой части второго равенства то же, что и в левой части третьего равенства. Значит, и правые части равенств одинаковы, то есть

− a3-− 6a2+-5a+-8 =a − 3 ⇔ a= −1;2;4 a

1.: Значение $a= −1$ дает систему $(| 2 ||{ b(1+ q+ q )= −1 | b2q(1+ q+ q2) =4 ||( bq = −4$
Подставив $b= − 4q$ в первое равенство, получаем
$4(1+ q+ q2)= q ⇔ q ∈ ∅$
2.: Значение $a= 2$ дает $( || b(1 +q +q2)= 2 |{ 2 2 || bq(1+ q+ q )= −2 |( bq = −1$
Поступая аналогично предыдущему пункту, получаем $3−√5- b= 2$ ; $3+√5 q = −-2-$ .
3.: Значение $a= 4$ дает $(| 2 ||{ b(1+ q+ q )= 4 | b2q(1+ q+ q2) =4 ||( bq = 1$
Поступая аналогично предыдущему пункту, получаем $3−√5- b= -2--$ ; $√- q = 3+25$ .

Ответ:

если $a = 4$ , то $x ∈{ 3−√5-;1; 3+√5} 2 2$

если $a= 2$ , то ${3−√5 3+√5} x∈ --2-;−1;--2-$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

18.06 Алгебра. Теорема Виета

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ