18.06 Алгебра. Теорема Виета

Для того, чтобы данное уравнение имело 4 различных корня, нужно, чтобы каждое из уравнений и имело 2 корня, причем все 4 корня были различны. Пусть – корни первого уравнения, – корни второго. Следовательно, дискриминанты обоих уравнений положительны:

Рассмотрим функции и . Графиками этих функций являются параболы, причем обе параболы имеют абсциссу вершины . Тогда существует только два возможных варианта расположения корней.

 

1) График находится выше графика .
 

 

Тогда . Т.к. обе параболы симметричны относительно прямой , то точки и находятся на одинаковом расстояние от точки . Аналогично с точками и . Учитывая еще то, что они должны образовывать арифметическую прогрессию (то есть расстояние между двумя соседними точками должно быть одинаково, например, ), то

Т.к. из квадратных уравнений следует, что , , то получаем систему:

Решая данную систему, находим, что – входит в промежуток .

 

2) График находится ниже графика .
 

 

Тогда . Рассуждая аналогично пункту 1, находим – входит в промежуток .