18.05 Алгебра. Связь между множествами решений

Первое множество представляет собой объединение двух лучей и , второе — отрезок. Так как в пересечении луча и отрезка может получаться пустое множество, точка или отрезок, то в пересечении объединения двух лучей с отрезком может получаться любая комбинация, состаоящая из двух таких множеств. Будем располагать отрезок относительно множества А точнее, располагать точку и смотреть, где может находиться точка и какие из этих положений нам подходят для каждого конкретного случая. Всего существует 5 различных мест, где можно расположить точку относительно отрезка

I: левее точки

II: в точке

III: между точками и

IV: в точке

V: правее точки

а)

I,II.

Тогда мы в любом случае будем получить отрезок, так как точка находится всегда левее точки следовательно, и левее точки

Значит,

III.

Тогда, чтобы в пересечении получить отрезок, точка должна располагаться в I месте. В противном случае мы получим либо точку (если располагается во II месте), либо пустое множество (если в III).

Значит,

Заметим, что достаточно было наложить условие на точку так как расстояние между точками и равно а между точками и равно следовательно, если точка находится в III месте, то точка автоматически может находиться только в I месте.

IV.

Тогда в любом случае мы будем получать либо отрезок и точку (если находится в I месте), либо две точки (если находмтся во II месте), либо одну точку (если находится в III месте). Ни один из получаемых случаев нам не подходит.

или


или

V.

Тогда мы получаем отрезок, если точка находится в IV или V местах.

Заметим, что достаточно поставить условие на точку так как точка в любом случае находится правее точки Значит,

Итоговые

б)

I,II,III,IV.

Не подходят (следует из пункта а)).

V.

Тогда I место — единственный вариант расположения для .

Значит,

Итоговые

в)

I,II,III.

Не подходят (следует из пункта а)).

IV.

Повторим подходящую картинку ( находится в I месте)

Значит,

V.

Тогда должна совпадать с то есть находиться во II месте.

Значит,

Следоватекльно, итоговые

г) Пустое множество мы получим, если отрезок не будет иметь пересечений с лучами, следовательно, целиком будет содержаться в отрезке Это невозможно по рассуждениям из пункта а): расстояние между точками и равно а между точками и равно а отрезок большей длины не может целиком содержаться в отрезке меньшей длины.

Также это можно было бы понять из системы