18.05 Алгебра. Связь между множествами решений

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

Таким образом, мы рассматриваем только II четверть координатной плоскости.

Рассмотрим первое уравнение системы.

Выразим через возведение обеих частей уравнения в квадрат, но сначала перенесем в левую часть:

Для возведения в квадрат необходимо следующее условие: обе части уравнения должны быть равных знаков. Правая часть не меньше нуля при любых допустимых таком случае:

Найдём координаты вершины параболы (, ):

Для более простого построения найдём координаты точки с абсциссой

Рассмотрим второе уравнение системы.

— функция корня, график которой инвертирован относительно осей и в виду наличия минусов перед и перед самим корнем. Вершина графика расположена в точке

Для более простого построения найдём координаты точки графика корня с абсциссой и точки графика параболы с абсциссой

Строим график по точкам и

Строим график по точкам и

Получаем картинку:

Графики функций вне пределов II четверти изображены пунктиром — эти части графиков не входят в ОДЗ.

Рассмотрим третье уравнение системы. — уравнение прямой с угловым коэффициентом которая двигается вверх-вниз в зависимости от значения параметра.

Резюмируем анализ всех трёх уравнений системы: единственное решение она имеет только тогда, когда все три графика пересекаются в одной точке — точке пересечения графика параболы и графика функции арифметического корня.

Заметим, что графики параболы и арифметического корня симметричны относительно прямой Это легко установить, рассмотрев координаты четырёх отмеченных на рисунке точек:

Таким образом, поскольку на ОДЗ функции монотонны, то пересекаются эти два графика в одной точке — точке на прямой (на рисунке ниже она отмечена красным цветом).

Найдём координаты данной точки (корень у уравнения должен быть ровно один в силу монотонности функций):

Помним об условии для возведения в степень:

Проверим на выполнение условия

Следовательно, — наш искомый корень и одновременно с этим абсцисса красной точки. Найдём её ординату:

Таким образом, координаты данной точки

Найдём значение параметра при котором подставив в это уравнение точки выше:

Вот так выглядит рисунок при найденном значении параметра: