18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Если обозначить , , то уравнение имеет вид , где . Так как , то функция убывающая (то есть строго монотонна), значит, уравнение равносильно :

1.

При мы получим линейное модульное уравнение вида , которое имеет максимум два корня, следовательно, при данном мы не получим три решения, то есть этот случай нам не подходит.

2.

Пусть . Рассмотрим функцию . Тогда наше уравнение имеет вид и нам нужно, чтобы график функции имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:

В зависимости от того, как расположена прямая относительно вершин парабол и , график может выглядеть одним из четырех видов:

Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.

Во-первых, прямая должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием

Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.

2.1.

Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой . Это задается следующими требованиями:

Это значение параметра удовлетворяет условию значит, нам подходит.

2.2.

Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается следующими требованиями:

Под условие подходит только .

Таким образом, ответ