18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Преобразуем уравнение:

Если сделать замену , , то уравнение примет вид , где , причем . Исследуем эту функцию:

Рассмотрим функции и при .

Докажем, что , тогда мы получим, что при , следовательно, (так как ).

Так как , , то , ч.т.д.

Следовательно, производная функции отрицательна, значит, функция убывает (то есть строго монотонна). Следовательно, уравнение равносильно уравнению :

Рассмотрим функцию . Тогда наше уравнение имеет вид и нам нужно, чтобы график функции имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:

В зависимости от того, как расположена прямая относительно вершин парабол и , график может выглядеть одним из четырех видов:

Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.

Во-первых, прямая должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием

Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.

1)

Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой . Это задается следующими требованиями:

Это значение параметра удовлетворяет условию значит, нам подходит.

2)

Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается следующими требованиями:

Под условие подходят оба .

Таким образом, ответ