Тема 18. Задачи с параметром

18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31811

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  ( 10x−-2x2−-a)             2
cos      3      − cos(2x +a)= x − 8x − a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

  10x−-2x2−-a          2( 2      )
−     3     − (2x+ a)= 3 x − 8x − a

Следовательно, если   10x−2x2−a
− ---3----=t  ,  2x+ a= y  , то      2 (2       )
t− y = 3 x − 8x− a , откуда  2         3
x − 8x − a = 2(t− y)  и уравнение примет вид

             3                3        3
cos(−t)− cosy = 2(t− y) ⇔ cost− 2t= cosy− 2y

Функция f(x)= cosx − 32x  имеет производную f′(x)= − sin x− 32 ≤ − 12 <0  , следовательно, f(x)  является монотонно убывающей. Для таких функций равенство f(t)= f(y)  равносильно равенству t= y  . Следовательно,

t= y  ⇒  x2 − 8x− a= 0 ⇔  (x− 4)2 =16+ a

Единственное решение при a =−16  .

Ответ:

 a ∈{−16}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!