18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Домножим правую и левую части уравнения на и перепишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию при (т.к. ).

Производная .

Т.к. при всех , то при всех .

Следовательно, при функция монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде , где . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если .

Значит, уравнение равносильно уравнению: , которое в свою очередь равносильно системе:

При система имеет одно решение , которое удовлетворяет условию .

Рассмотрим случай . Дискриминант первого уравнения системы при всех . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня и , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета ).

Это значит, что при условию подходит отрицательный корень, при условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, .