18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Первое неравенство системы равносильно

Рассмотрим второе неравенство. Пусть Тогда второе неравенство имеет вид Изучим эту функцию. Ее производная равна

Следовательно, возрастает при всех Значит, неравенство равносильно Таким образом, система равносильна

Рассмотрим несколько случаев.

1.

Тогда первое неравенство системы имеет вид что равносильно Следовательно, вся система не имеет решений. Этот случай нам не подходит.

2.

Тогда система равносильна

Тогда интервал и отрезок будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если то есть Значит, нам подходят

3.

Тогда система равносильна

Если то решением системы является пустое множество. Если то интервал и отрезок будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если Следовательно, нам подходят

4.

Тогда система равносильна

Тогда интервал и отрезок не имеют общих точек. Эти значения параметра нам не подходят.

Тогда исходная система имеет хотя бы одно решение на указанном отрезке при