Пересечение отрезков и прямых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — натуральное число. Сколько существует способ выбрать два не пересекающихся прямоугольника внутри квадрата
идущих по линиям сетки? Прямоугольники пересекаются, если у них есть хотя бы одна общая внутренняя клетка или общая точка на
границе.
Источники:
Подсказка 1
Как можно задать прямоугольники внутри таблицы, чтобы без самой таблицы определять, пересекаются прямоугольники или нет?
Подсказка 2
Давайте попробуем задать прямоугольники при помощи двух интервалов: один для горизонтальной стороны, а другой — для вертикальной! Тогда несложно вывести условие того, что прямоугольники не пересекаются.
Подсказка 3
Для начала разберите случай, когда не пересекаются "горизонтальные" интервалы. А сколько тогда способов будет для "вертикальных" интервалов?
Подсказка 4
Если "горизонтальные" интервалы не пересекаются, то вертикальные можно выбрать абсолютно любыми! Аналогично и со случаем, когда не пересекаются "вертикальные" интервалы. Осталось лишь проверить, не посчиталось ли ничего лишнего ;)
Прямоугольник можно задать двумя интервалами: один определяет его горизонтальную сторону, а другой — вертикальную. Чтобы прямоугольники не пересекались, необходимо и достаточно, чтобы либо горизонтальные, либо вертикальные интервалы были непересекающимися (возможно, оба).
Сначала посчитаем количество способов, при которых горизонтальные интервалы не пересекаются. Пусть эти интервалы — и
Поскольку порядок прямоугольников не имеет значения, без потери общности можно предположить, что
то есть
Тогда количество способов выбрать
равно
На вертикальные интервалы ограничений нет, поэтому
количество способов выбрать их равно
Таким образом, общее количество пар прямоугольников с непересекающимися
горизонтальными интервалами равно
По симметрии, количество пар прямоугольников с непересекающимися
вертикальными интервалами такое же.
Осталось посчитать и вычесть количество способов, при которых и горизонтальные, и вертикальные интервалы не пересекаются. Пусть
горизонтальные интервалы — и
а вертикальные —
и
Без потери общности можно предположить
поэтому оличество способов выбрать горизонтальные интервалы равно
Однако случаи
и
теперь
различны, поэтому количество способов выбрать вертикальные интервалы равно
Следовательно, количество пар
прямоугольников, у которых и горизонтальные, и вертикальные интервалы не пересекаются, равно
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!