Пересечение отрезков и прямых

Предположим, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. В этом случае, очевидно, получается всего одна прямая.

Пусть на одной прямой лежат какие-то три точки, а четвертая на этой прямой не лежит. Обозначим точки на одной прямой через , и , а четвертую точку через . Тогда у нас есть прямая, проходящая через точки , и , а также три прямые , , , то есть всего четыре прямые.

Пусть никакие три точки не лежат на одной прямой. Тогда прямые через любые две точки различны, и нам достаточно лишь посчитать количество неупорядоченных пар из двух точек. Сначала посчитаем количество упорядоченных пар. Первую точку можно выбрать способами, вторую — способами, и эти количества способов надо перемножить, так как выбор точек последовательный и независимый. Итого получается упорядоченных пар. Неупорядоченных же вдвое меньше, так как каждой неупорядоченной паре соответствуют две упорядоченные. Значит, неупорядоченных пар точек , и прямых тоже .

Мы разобрали все случаи того, сколько отмеченных точек могло лежать на одной прямой, и нашли ответа: , или прямых.