Пересечение отрезков и прямых

Найдем количество точек пересечения прямых, если бы все они пересекались, и никакие три не проходили бы через одну точку. Тогда точек пересечения столько же, сколько неупорядоченных пар прямых, так как любые две прямые имели бы ровно одну точку пересечения.

Посчитаем сначала количество упорядоченных пар прямых. Первую прямую можно выбрать способами, вторую — способами. Эти количества надо перемножить, так как выбор последовательный и независимый. Получается упорядоченные пары прямых. При этом неупорядоченных пар ровно вдвое меньше, так как каждую неупорядоченную пару можно упорядочить ровно двумя способами. Значит, неупорядоченных пар .

Итак, если бы все прямые пересекались, но никакие три не пересекались бы в одной точке, точек пересечения было бы . Но по условию среди прямых есть две параллельные. Это значит, что пропадает одна точка пересечения. Поэтому на самом деле точек пересечения на одну меньше, то есть .