Пересечение отрезков и прямых

Сначала посчитаем, сколько было бы точек пересечения, если бы никакие три прямые не проходили через одну точку. Тогда каждый две прямые пересекались бы ровно в одной точке, и все эти точки были бы различны. Значит, точек пересечения было бы столько же, сколько неупорядоченных пар прямых.

Посчитаем сначала количество упорядоченных пар. Их , так как первую прямую можно выбрать способами, вторую — способами, и выбор последовательный и независимый. Неупорядоченных пар вдвое меньше, так как каждой неупорядоченной паре соответствуют две упорядоченные. Получается неупорядоченных пар.

Теперь вернемся к нашей задаче. У нас три прямые пересекаются в одной точке. Это значит, что для трех пар прямых, а именно пар , ; , и , , точки пересечения совпадают. Поэтому вместо трех точек пересечения мы получаем одну точку пересечения. Значит, общее количество точек пересечения уменьшается на . Итого не , а точки пересечения.