Пересечение отрезков и прямых

Заметим, что любые две прямые пересекаются не больше чем в одной точке. Значит, точек пересечения не больше, чем неупорядоченных пар прямых. Упорядоченных пар , так как первая прямая выбирается способами, вторая — способами, и выбор последовательный и независимый. Неупорядоченных пар половина, так как каждой неупорядоченной паре соответствую две упорядоченные. Таким образом, неупорядоченных пар , и точек пересечения не больше .

Объясним, почему точек пересечения бывает. Для этого надо сделать так, чтобы не было параллельных прямых и никакие три не пересекались в одной точке. Пусть мы уже смогли нарисовать несколько прямых так, чтобы среди них не было параллельных и чтобы никакие две не пересекались в одной точке. Покажем, почему можно нарисовать следующую. Во-первых, так как направлений прямых бесконечно, а провели мы только конечное число прямых, мы можем провести прямую, не параллельную никакой другой. Далее, если она случайно прошла через одну из точек пересечения, подвинем ее далеко от этих точек пересечения. В итоге мы провели еще одну прямую. Так мы можем провести прямых, и в итоге они будут пересекаться в точках.