Пересечение отрезков и прямых

Если бы все точки пересечения диагоналей были различны, для их подсчёта достаточно было бы посчитать общее количество способов выбрать 4 вершины -угольника. Действительно, каждая пара пересекающихся диагоналей даёт нам 4 вершины; с другой стороны, для каждых 4 вершин отрезок, соединяющий первую и третью по часовой стрелке, и отрезок, соединяющий вторую и четвёртую, будут пересекающимися диагоналями (сторонами они не могут быть, так как стороны ни с чем не пересекаются). Количество таких способов составляет

Однако, при таком подсчёте точки, в которых пересекаются больше двух диагоналей, посчитаны несколько раз.

Во-первых, поскольку количество вершин чётно, "длинных"диагоналей (соединяющий противоположные вершины многоугольника) пересекаются в центре многоугольника. Эта точка посчитана

раз, в то время как должна быть посчитана 1 раз. Значит, из вычисленного количества надо вычесть

Во-вторых, для каждой "длинной"диагонали можно взять две симметричные относительно неё диагонали, не проходящие через центр многоугольника. "Длинную"диагональ можно выбрать способами. Для удобства представим себе, что выбранная диагональ расположена вертикально. По каждую сторону от этой диагонали остаётся вершина. Мы выбираем вершину слева от “длинной” диагонали, после чего для выбора вершины справа у нас остаётся варианта: мы не можем выбрать вершину, симметричную относительно "длинной"диагонали (иначе диагональ будет симметрична сама себе) и вершину, симметричную относительно центра, иначе будет "длинной а эти точки пересечения мы уже учли.

Симметричная диагональ выбирается единственным образом. Однако каждую пару диагоналей и мы посчитали дважды, потому что в качестве первой выбранной диагонали могла быть взята любая из них. Таким образом, точку пересечения трёх диагоналей мы умеем искать

способами. В исходной формуле каждая такая точка посчитана трижды, то есть два лишних раза. Значит, мы получаем ещё на

точек меньше.

Вычитая из исходного количества пересечений оба эти выражения мы получаем в точности то, что и требовалось. Если какие-то точки, посчитанные в предыдущем абзаце, на самом деле совпадают, то вычитать надо ещё больше.