Пересечение отрезков и прямых

(a) Возьмём одну из данных прямых и рассмотрим все точки пересечения данных прямых, не лежащие на выбранной прямой, и выберем среди них ближайшую. Среди кусков, на которые разрезана плоскость, есть треугольник, одна вершина которого — выбранная точка, а две другие лежат на выбранной прямой. Действительно, треугольник, образованный выбранной прямой и двумя прямыми, проходящими через выбранную точку, не могут пересекать другие прямые. Мы сопоставили каждой прямой треугольник, причём один и тот же треугольник не может соответствовать более чем трём разным прямым. Поэтому количество треугольников не меньше

(b) Докажем, что если проведено прямых, то число треугольников не меньше

Рассмотрим все точки пересечения данных прямых. Докажем, что эти точки могут лежать по одну сторону не более чем от двух данных прямых. Предположим, что все точки пересечения лежат по одну сторону от трёх данных прямых. Эти прямые образуют треугольник Четвёртая прямая не может пересекать только стороны этого треугольника, т.е. она пересекает хотя бы одно продолжение стороны. Пусть для определённости она пересекает продолжение стороны за точку в некоторой точке Тогда точки и лежат по разные стороны от прямой Получено противоречие. Поэтому имеются по крайней мере прямые, по обе стороны от которых лежат точки пересечения. Если мы выберем в полуплоскости, заданной прямой ближайшую к точку пересечения, то эта точка будет вершиной треугольника, прилегающего к прямой Таким образом, имеется не менее прямых, к которым прилегает по крайней мере по два треугольника, и две прямые, к каждой из которых прилегает хотя бы один треугольник. Так как каждый треугольник прилегает ровно к трём прямым, то треугольников не менее При получаем не менее треугольников. Значит, количество треугольников не меньше