Пересечение отрезков и прямых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Источники:
Подсказка 1
Задачи по комбинаторной геометрии часта решаются рассмотрением чего-нибудь крайнего. Найдите в задаче что-нибудь такое.
Подсказка 2
Непонятно что крайнее рассматривать. Предлагается найти конструкцию следующего вида. Треугольник с чевианой, где чевиана и сторона, к которой она проведена, одного цвета, а остальные две стороны - другого.
Подсказка 3
Рассмотрите наименьшую по площади конструкцию, описанную выше. Докажите, что найдется точка, через которую проходят прямые лишь одного цвета.
Предположим противное. Заметим, что через каждую точку пересечения двух прямых проходит красная прямая. Рассмотрим синюю
прямую 
пусть 
— две наиболее удалённые друг от друга точки пересечения 
с красными прямыми, 
и 
— красные прямые,
проходящие через 
и 
— точка пересечения 
и 
Тогда через 
проходит синяя прямая 
которая пересекает 
в какой-то
точке 
отрезка 
иначе 
и 
— не наиболее удалённые (cм. рис.).
.png)
Рассмотрим все четвёрки прямых 
расположенных как 
— одного цвета; 
— другого; 
пересекаются в одной точке; точка пересечения 
и 
лежит между точками пересечения 
с 
и 
и рассмотрим среди них
такую, в которой прямые 
образуют треугольник наименьшей площади (cм. рис.). Тогда через точку 
проходит прямая 
одноцветная с 
Она пересекает либо отрезок 
либо 
(пусть, для определенности, 
Тогда прямые 
образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Противоречие.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
