Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В турнире по волейболу участвовало 
команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 
очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую
прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая второе место?
Источники:
Подсказка 1
Давайте оценим разницу между командами, которые заняли соседние места, начиная с самой слабой. Тогда мы сможем оценить число очков для каждой команды.
Подсказка 2
Последняя команда набрала не менее 0 очков. Могла ли 19 команда набрать 1-2 очка? А 18 команда 3-5 очка?
Подсказка 3
Отлично, 19 команда набрала не менее 3 очков! А какая оценка для команды-победителя? А сколько всего она могла набрать за турнир?
Решим задачу в общем виде. Пусть участвовало 
команд, за победу даётся 
очков. Пусть 
— количество очков, набранных последней
командой.
Посчитаем число разыгранных очков двумя способами. С одной стороны, это число равно
С другой стороны, так как очки распределились в арифметической прогрессии, то, обозначив ее разность через 
получим
Значит,
Так как 
где 
— натуральное число, то:
Значит, для 
есть две возможности: 
При 
получается 
что не годится по условию. Следовательно, 
и
Тогда при 
получаем 
и первая команда наберет 
очков, а вторая 
очка.
Другой способ решения.
Последняя команда в таблице набрала не менее 0 очков, 19-я команда — не менее 3 очков, 18-я команда — не менее 6 очков, …, 2-я
команда — не менее 
очков, 1-я команда — не менее 
очков.
В то же время, 1-я команда не могла набрать более 
очков, так как она сыграла 19 игр. Значит, 1-я команда набрала 57 очков,
2-я команда — 54 очка, 3-я команда — 51 очко, …, 19-я команда — 3 очка, 20-я команда — 0 очков.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
