Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В футбольном турнире участвовало 
команд, каждая сыграла с каждой ровно один матч. За победу даётся 
очка, за ничью — 
очко,
за поражение — 
очков. В сумме команды набрали 
очка. Докажите, что найдутся 
команд, каждая из которых сыграла хотя бы
один раз вничью.
Источники:
Подсказка 1
Попробуем доказывать от противного. Нам в условии дана сумма очков, значит, стоит попробовать прийти к противоречию с этим условием) Попробуем подсчитать количество очков с учётом нашего предположения.
Подсказка 2
Все команды, сыгравшие в ничью, играли их именно друг с другом. Таких команд по предположению не более 6, значит игр с ничьей не более 15. Что еще можно сказать о количестве очков?
Подсказка 3
Можно посмотреть на то, сколько очков разыгрывается в других играх. Тогда мы сможем оценить снизу общее количество очков!
Предположим, что 
команд, каждая из которых хотя бы раз сыграла вничью, не найдется. То есть команд, которые сыграли хотя бы раз
вничью, не больше 
. Тогда ничейных матчей было не больше 
.
Матчей всего 
. Если матч закончился вничью, то в нём было разыграно 
очка, иначе – 
. Ничейных матчей не более 
,
поэтому суммарно очков в турнире было набрано не менее 
.
По условию задачи команды в сумме набрали 
очка. Предположение о том, что команд, у которых был ничейный матч, меньше 
приводит к противоречию 
. Поэтому хотя бы 
команд точно найдутся.
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
