Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В однокруговом турнире, где за победу даётся 2 очка, за ничью 1, за поражение 0 очков, приняло участие 16 команд. Все команды набрали разное количество очков, причём команда, занявшая 7 место, набрала 21 очко. Докажите, что победившая команда хотя бы один раз сыграла вничью.
Подсказка 1
Попробуем оценить количество очков у команд с 8 по 16 место и количество очков у команд с 1 по 7 место. Как можно использовать то, что команды набрали различное количество очков?
Подсказка 2
Если седьмая команда набрала 21 очко, то первая — не менее 27. Какую тогда оценку можно сделать на сумму очков семи самых сильных команд? А сколько всего очков было разыграно?
Подсказка 3
Всего в турнире было сыграно 8*15 игр, в каждой из которых разыгрывалось по 2 очка. Какую тогда можно сделать оценку на число очков, полученных командами с 8 по 16 место?
Подсказка 4
Команды с 8 по 16 место набрали не больше 72 очков! А в играх с кем они могли их набрать?
Подсказка 5
Посчитайте, сколько очков команды с 8 по 16 место набрали в играх между собой и сделайте выводы об остальных их играх!
Так как команда, занявшая 7 место, набрала 21 очко, то 6-я команда набрала хотя бы 22 очка, пятая — хотя бы 23, и так далее до первой,
набравшей хотя бы 27 очков. Сложим эти очки: 
очков. Всего же в турнире разыгрывается 
очков.
Команды с 8 по 16-ю сыграли между собой 
игр, то есть разыграли хотя бы 
очка. В сумме 
. Таким
образом, никакая из команд, занявших место выше 7-го, не могла набрать больше очков, иначе сумма очков, набранных всеми командами,
стала бы больше 240. Поэтому первая команда набрала ровно 27 очков, значит, хотя бы в одной из своих игр она набрала нечетное число
очков, то есть сыграла вничью.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
