Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторые участники турнира дружат между собой, и у каждого есть хотя бы один друг. Каждому участнику турнира выдали футболку, на которой написано количество его друзей на турнире. Докажите, что хотя бы у одного участника среднее арифметическое чисел на футболках его друзей не меньше, чем среднее арифметическое чисел на всех футболках.
Подсказка 1
В задачах, где необходимо показать существование объекта с некоторым свойством, полезно предполагать противное. Дело в том, что обратное утверждение заключается в том, что каждый объект не обладает данным свойством, а этим пользоваться куда проще.
Подсказка 2
Предполагая обратное, мы получим, что сумма по всем участникам средних арифметических его друзей меньше, чем сумма по всем участникам количества их друзей. Чему равно последнее?
Подсказка 3
Оно равно количеству пар друзей. Почему данное неравенство невозможно?
Подсказка 4
Как иначе можно расписать сумму по всем участникам средних арифметических его друзей?
Подсказка 5
Пусть n_k --- количество друзей k-того участника. Тогда сумма равна сумме {n_j}/{n_i}+{n_i}/{n_j} по всем парам друзей (i, j). Почему она не меньше удвоенного количества пар друзей?
Пронумеруем всех участников турнира числами от 
до 
Для любого 
для 
-го участника 
— количество его друзей
друзей,
где 
— множество всех друзей 
-го участника. Предположим противное: каждое 
меньше, чем среднее количество друзей,
тогда
(удвоенного количества пар друзей). Переставив слагаемые в сумме 
видим, что 
равно сумме
где суммирование ведется по всем парам участников 
которые являются друзьями. Каждое слагаемое в сумме не меньше 
(как
сумма взаимно обратных положительных чисел), поэтому 
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
